Цифра и счет. Из истории возникновения систем счисления
Мысль выражать все числа девятью знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще и значение по месту, настолько проста, что именно из-за этого трудно понять, насколько она удивительна. У каждой страны был свой опыт развития системы исчисления[1].
Римская система
Принципы обозначения чисел в Древнем Риме очень схожи с правилами первой древнегреческой системы счисления — аттической. Обе системы были непозиционными и десятичными, в которых особую роль играло число 5. При записи чисел эти системы использовали повторяющиеся символы, а в качестве римских цифр — семь букв латинского алфавита: 1 — I; 5 — V; 10 — X; 50 — L; 100 — C; 500 — D; 1000 — M. Было придумано мнемоническое правило, чтобы запомнить римские цифры в порядке убывания: «Мы Dарим Сочные Lимоны, Хватит Vсем Iх (соответственно M, D, C, L, X, V, I)».
По поводу происхождения римских цифр ученые до сих пор ведут споры. Если присмотреться внимательнее к цифрам 1, 5 и 10, то можно заметить, на что они похожи: знак «I» — на палочку; знак «V» — на раскрытую руку; «X» — на две скрещенные руки.
Существует и другое объяснение. Изначально числа от 1 до 9 изображались соответствующим количеством вертикальных палочек. Для изображения десятка делали следующее: нарисовав девять палочек, десятой их перечеркивали, чтобы не писать «много палочек», перечеркивали одну. Так появилось изображение знака «X». Изображение же знака «V» (число 5) получили путем разрезания знака «X» (число 10) пополам.
Существует определенный порядок записи римских чисел, хотя в самой системе строгих правил не было. Если рядом стояли две одинаковые цифры, то их значения складывались. Например: «CC» — 200, «XX» — 20. Причем одна и та же цифра не могла быть написана подряд более трех раз. Хотя цифру 4, особенно на циферблатах часов, иногда писали не как IV, а как IIII.
Если большая цифра стоит перед меньшей, то они складываются (принцип сложения), если же меньшая стоит перед большей, то меньшая вычитается из большей (принцип вычитания). Если перед цифрой большего значения стоит цифра меньшего значения, то последняя может быть представлена только одной из цифр — «I, X, C», то есть со значением «один» (единица, десяток, сотня). Самое большое число, которое могли обозначить римляне, было 100 000. Вероятнее всего, обозначения «C» и «M» связаны с римскими названиями «сотни» и «тысячи». Тысячу римляне называли «милле» (слово «миля» когда-то обозначало путь в тысячу шагов).
Римляне — завоеватели, они поработили и подчинили себе многие страны, что привело к росту их империи. С порабощенных народов они собирали огромные налоги, а для этого им необходимо было пользоваться обозначениями чисел. Поэтому жителям этих стран приходилось учить римскую нумерацию. Отметим, что римские цифры широко использовались во многих странах Европы даже после крушения Римской империи. В деловых бумагах Западной Европы они применялись до XIV века.
Недостатком римской системы счисления стало отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, правил арифметических действий с многозначными числами.
В России римские цифры употреблялись как порядковые числительные. В русской армии ими обозначали номера армий и корпусов, а в эпоху классицизма номерами годов в римских цифрах украшали фронтоны зданий.
В настоящее время римские цифры также используют для нумерации глав и томов в изданиях, для определения веков и порядковых номеров монархов в истории, важных исторических событий, очередных Олимпийских игр. Римскими цифрами определяют номер группы крови человека, валентность химического элемента.
Двенадцатеричная система шумеров
Двенадцатеричная система счисления — это позиционная система счисления с основанием числа 12.
Предполагается, что двенадцатеричная система счисления возникала, когда в качестве единиц счета использовались фаланги четырех пальцев руки, то есть вместо загибания пальцев считали фаланги с помощью большого пальца.
Двенадцатеричная система счисления применялась в древнем Шумере около 5000 лет назад, получила достаточно широкое распространение и долгую жизнь.
Число 12 оказалось очень удобным основанием системы счисления, так как оно делится нацело на 2, 3, 4 и 6, в то время как число 10 — основание десятичной системы счисления — делится нацело лишь на 2 и 5.
Для обозначения чисел в двенадцатеричной системе используют арабские цифры и буквы латинского алфавита: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B. Также существует гипотеза, что до 12 считали сидя, загибая не только 10 пальцев рук, но и две ноги. Хотя, возможно, такое случалось, когда европейцам приходилось сталкиваться с восточным двенадцатеричным счетом. Их систему счета и удивительно точные знания, полученные шумерскими астрономами, наследовали вавилоняне, от которых астрономические таблицы и правила счета перешли к древнегреческим и арабским математикам, а от античных мыслителей — к европейским средневековым ученым мужам.
Число 12 очень широко использовалось в мифологии, религии и быту. Античный греческий пантеон состоял из 12 олимпийских богов, однако его состав в разное время определялся по-разному. Геракл совершил 12 подвигов.
Двенадцатеричный счет использовался в системах мер и в денежных системах многих европейских стран. По сей день в быту столовые приборы, чулочно-носочные изделия и носовые платки принято считать дюжинами и полудюжинами. Стулья в гарнитуре, бутылки в упаковке (масло, лимонады) также размещают дюжинами и полудюжинами. Элементом двенадцатеричной системы в современности может служить счет дюжинами. Первые три степени числа 12 имеют собственные названия: 1 дюжина = 12 штук; 1 гросс = 12 дюжин = 144 штуки; 1 масса = 12 гроссов = 144 дюжины = 1728 штук.
Самыми известными примерами двенадцатеричной системы служат часы и календари. В календарях в году — 12 месяцев, количество зодиакальных созвездий также 12. В сутках 24 часа, но часы традиционно изготавливают с
Двенадцатеричная система счета считается очень удобной, поэтому некоторые ученые даже предлагали заменить принятую десятеричную систему на двенадцатеричную.
В ряде стран и сейчас существуют общества, объединившие активных сторонников двенадцатеричной системы счисления. Однако главным аргументом против такой замены всегда служили огромные затраты и неизбежная путаница при переходе.
Индейцы майя и инки
Государство Майя — крупнейшая цивилизация Мезоамерики, известная благодаря своей письменности, искусству, архитектуре, математической и астрономической системам
Система счета майя была двадцатеричной позиционной системой счисления. Подобная система основывалась на применении анатомического счета и использовании не только десяти пальцев рук, но и десяти пальцев ног. Возникла структура в виде четырех блоков по пять цифр, что соответствовало пяти пальцам на руках и ногах. Кроме того, индейцам майя задолго до остального мира было известно понятие ноля, который обозначался просто раковиной. Знак ноля также применялся майя для обозначения бесконечности. В своем особом варианте система счисления майя использовалась для астрономических наблюдений, календарных расчетов как годового цикла, так и целых эпох и называлась долгим счетом.
Запись числа осуществлялась при помощи трех знаков и их комбинаций: 1 — точка, 5 — черта, 0 — раковина. Одна, две, три или четыре точки обозначали числа от 1 до 4. Черточка — число 5, комбинациями черточек и точек обозначались числа от 6 до 19. Число 20 обозначалось комбинацией двух знаков — раковиной (ноль) и точкой — и указывало на следующий позиционный разряд.
Как и другие народы, населявшие Центральную Америку, майя верили в цикличный характер времени и астрологию. Их расчеты движения звезд расходились с современными астрономическими данными всего на несколько секунд в год. Майя была создана система календарей — от ежегодных до многотысячелетних, посвященных особым эпохам. Ежегодный сельскохозяйственный календарь Хааб состоял из 365 дней.
Империя инков — индейское государство в Южной Америке в
Инки разработали целую систему записи и хранения информации с помощью узелкового письма — кипу (означает «узел»). Кипу — сложные разноцветные веревочные сплетения и узелки из шерсти альпаки или хлопка. По заведенному порядку из всех поселений сведения доставлялись в административные центры, там суммировались, и уже из провинций профессиональными курьерами «Узелковые письма» доставлялись в столицу.
Подсчет на ЭВМ показал, что только одно кипу, составленное из перечисленных элементов (включая цвета нитей) с тремя нитями — подвесками первого порядка, дает 365 535 720 353 комбинаций!
Шестидесятеричная система
Шестидесятеричная система счисления — результат наложения двух более древних систем — двенадцатеричной и пятеричной. Археологические находки показали, что обе эти системы действительно реально использовались, а шумерские названия чисел 6, 7 и 9 обнаруживают следы пятеричного счета, видимо, наиболее древнего.
Происхождение этой системы по одной гипотезе связано с применением счета на пальцах. Также существует предположение, что после аккадского завоевания шумерского государства долгое время одновременно существовали две денежно-весовые единицы: шекель (сикль) и мина, причем было установлено их соотношение 1 мина = 60 шекелей.
Шестидесятеричная система счисления — первая известная нам система, основанная на позиционном принципе[2]. Ей более 3000 лет. Вавилонское царство возникло в начале II тысячелетия до н. э. на территории современного Ирака. Эту систему использовали шумеры и вавилоняне. Они писали, как и мы, слева направо. Однако запись необходимых 60 цифр была своеобразной. Значков для цифр было всего два, обозначим их Е (единицы) и Д (десятки); позже появился значок для нуля. Цифры от 1 до 9 изображались как Е, ЕЕ, ...ЕЕЕЕЕЕЕЕЕ. Далее шли Д, ДЕ, ...ДДДДДЕЕЕЕЕЕЕЕЕ (59). Таким образом, число изображалось в позиционной шестидесятеричной системе. Аналогично записывались дроби. Для популярных дробей 1/2, 1/3 были специальные значки.
Греческие и средневековые европейские математики (в том числе и Николай Коперник[3]) для обозначения дробных частей пользовались вавилонским счетом шестидесятеричной системы. От вавилонской математики ведет начало принятое сегодня измерение углов градусами, минутами и секундами. И все же богатая теоретическая основа математики Вавилона не имела целостного характера и сводилась к набору разрозненных приемов, лишенных общей системы и доказательной базы. Систематический доказательный подход в математике появился только у греков.
В более позднее время шестидесятеричная система счисления использовалась арабами, а также древними и средневековыми астрономами, в первую очередь, для представления дробей. Поэтому ученые часто называли шестидесятеричные дроби астрономическими. Они применялись для записи астрономических координат — углов, и эта традиция сохранилась по сей день. В одном градусе 60 минут, а в одной минуте 60 секунд. При измерении различных интервалов времени используются секунда, минута, час, сутки. Сутки делили на два равных последовательных интервала (условно день и ночь), а каждый из них — на 12 часов. Дальнейшее деление часа восходит к шестидесятеричной системе счисления. Каждый час разбивали на 60 минут, минуту — на 60 секунд. Таким образом, в часе 3600 секунд; в сутках — 24 часа или 1440 минут, или 86 400 секунд. Наиболее распространенная градусная мера для измерения угла — градус, минута, секунда, в которой за 1° принимается 1/180 от развернутого угла или 1/360 от окружности. Она сыграла важную роль в развитии математики и астрономии.
За пределами Европы, в КНР, шестидесятеричная система счисления иногда используется не только для секунд и минут, но и для лет. Так, в КНР в словаре Сяньдай Ханьюй Цидянь[4] приведена таблица правителей с указанием года как по десятичной системе, так и иероглифического обозначения номера года в шестидесятилетнем цикле.
Достижения Китая
Одна из древнейших систем счисления была создана в Китае. Она возникла как результат оперирования с палочками, выкладываемыми для счета на стол или доску. Позже научились записывать необходимые числа и математические действия. Иероглифы, которые обозначали цифры, возникли во II веке до н. э. Во II веке н. э. были написаны «Трактат об измерительном шесте» (по астрономии) и «Математика в девяти книгах». Их называют «Десять классических трактатов», посвященных вычислениям. На протяжении веков был создан китайский счет, возникли цифры для записи чисел и правила проведения математических действий и записи чисел. Престиж математики в Китае был очень высок. Каждый чиновник, чтобы получить назначение на пост, сдавал, помимо прочих, экзамен по математике, где обязан был показать умение решать задачи из классических сборников.
До XIV века математика Китая представляла собой набор вычислительных алгоритмов для решения на счетной доске. При проведении счета на доске числа от 1 до 5 обозначались соответствующим количеством вертикальных палочек. А 1, 2, 3 или 4 — вертикальные палочки, над которыми помещалась одна поперечная палочка, означали числа 6, 7, 8 и 9. От одного десятка до пятидесяти обозначали соответствующим количеством горизонтальных палочек. А 1, 2, 3 и 4 горизонтальные палочки, к которым сверху приставлялась вертикальная палочка, означали числа 60, 70, 80 и 90. На счетной доске применялась позиционная запись (сначала указывалось число палочек старшего разряда, потом младшего).
При письменных вычислениях использовали вторую систему записи чисел, родственную во многом первой. Вторая система записи чисел — десятичная, непозиционная, с мультипликативным (полученным при умножении) принципом записи чисел с помощью особых иероглифов. Для записи цифр использовались 9 цифр-иероглифов и 11 специальных иероглифов для обозначения десятичных разрядов. Оно и служило множителем для чисел. Например, 5 на 10 во второй степени обозначало 500.
Всякое число могло быть записано и произнесено с помощью этих знаков: сначала — цифра, обозначающая число единиц разряда, за ней — название самого разряда. Перечень цифровых знаков включал два набора символов для записи чисел: первый — для обычной записи и для повседневного использования и второй — для более важной, так называемой формальной записи (пиньинь), используемой в финансовой сфере, например для заполнения чеков. Для формальной записи применяли более сложные по форме символы, которые затрудняли подделку — в европейских странах с той же целью указывали сумму прописью. Число записывали в виде последовательности цифр с разрядом перед ними, по убыванию старшинства разрядов слева направо. Если какого-то разряда не было, то первоначально ничего не указывали и переходили к следующему разряду. Во времена династии Мин
В настоящее время в Китае принята система счисления арабскими цифрами, но на страницах газет, в обиходе, в частной практике нередко используются традиционные цифры-иероглифы. Китайский счет и китайская система счисления прошли долгий,
Индийские и арабские труды по математике
Цивилизации древнего мира создавали и накапливали математические знания, иногда заимствуя их у соседей, независимо друг от друга. Достижения индийской цивилизации в математике ничуть не уступали египетским, греческим или китайским. В ранних философских и научных трактатах уже были описаны дроби и рациональные числа, методы извлечения корней и решения неопределенных уравнений. Индийцы использовали счетные доски, приспособленные к позиционной записи. Были разработаны полные алгоритмы всех арифметических операций, включая извлечение квадратных и кубических корней. Индийские математики называли ноль «сунья» — «пустой». Позже арабские ученые перевели это как «сыфр», от которого произошло слово «цифры».
Математика Востока, в отличие от древнегреческой математики, всегда носила практичный характер. Основными областями применения были торговля, ремесло, строительство, география, астрономия, механика, оптика. Огромным уважением пользовалась персональная астрология.
Преследование греческих ученых-нехристиан в Римской империи в
В начале IX века научным центром халифата становится Багдад, где халифы создают «Дом мудрости», в который приглашаются виднейшие ученые всего исламского мира. Большинство багдадских ученых этого периода были сабиями (потомки вавилонских жрецов-звездопоклонников, традиционно сведущие в астрономии) или выходцами из Средней Азии (Аль-Хорезми, Хаббаш аль-Хасиб, Аль-Фергани).
На западе халифата, в испанской Кордове, сформировался другой научный центр, благодаря которому античные знания стали понемногу возвращаться в Европу.
В целом эпоха исламской цивилизации в математических науках может быть охарактеризована не как эпоха поиска новых знаний, но — как эпоха передачи и улучшения знаний, полученных от греческих и индийских математиков. Главная историческая заслуга математиков исламских стран — сохранение античных знаний и содействие восстановлению европейской науки.
Благодаря трудам арабских математиков возникло несколько закрепившихся в математике терминов: алгебра, алгоритм, цифра (происходят от имени автора или названия трудов). Например, термин «алгебра» взят из сочинения среднеазиатского ученого аль-Хорезми «Китаб аль-джебр ва-ль-мукабала» («Краткая книга о восполнении и противопоставлении», написана около 825 года). «Арабские цифры» появились в Европе благодаря трудам арабских математиков, посвященным индийскому счету и индийским цифрам. Сами арабы называли и называют эти цифры индийскими.
В XII веке книга аль-Хорезми «Об индийском счете» была переведена Робертом Честерским[5] на латинский язык и сыграла огромную роль в развитии европейской математики и внедрении арабских цифр. В эпоху Возрождения сильно возрос интерес к математике, в том числе арабской. Ко времени распространения книгопечатания в западноевропейской науке укоренились «арабско-индийские» цифры.
[1] Начало читайте в журнале «Бюджетный учет» № 3/2026. С.
Благодарим за предоставленный материал издательско-полиграфический центр «Финпол».
[2] Система счисления, в которой значение каждого числового знака (цифры) в записи числа зависит от его позиции (разряда) относительно десятичного разделителя. Позиционные системы по сравнению с другими позволяют существенно упростить алгоритмы выполнения арифметических операций и ускорить вычисления. Их создание и распространение сыграли большую роль в развитии точных наук — математики, астрономии и физики.
[3] Польский и немецкий астроном, математик, механик, экономист, каноник эпохи Возрождения. Наиболее известен как автор гелиоцентрической системы мира, положившей начало первой научной революции.
[4] Нормативный толковый словарь китайского языка, содержащий главным образом лексику китайского литературного языка — путунхуа.
[5] Английский ученый XII века, один из первых переводчиков научных трудов с арабского языка на латынь.