Сложно сказать, когда, а главное, как человек научился считать. Известно только, что все древние цивилизации уже имели свои системы счета, значит, сами числа и системы их записи какимито знаками (система счисления) зародились в доцивилизационное время. Сегодня, в эпоху цифровых технологий, не ослабевает интерес к тайнам появления в древности различных способов счисления, истории создания цифровых знаков, к языку чисел и старинным математическим загадкам[1].
В процессе развития древних цивилизаций были изобретены и различные способы записи чисел: черточками и точками, специальными знаками-цифрами, иероглифами, буквами, а также зарубками на палочках, клинописью на глиняных дощечках и даже узелками (как это делали индейцы племени майя и инков в Северной Америке). Были разработаны правила использования этих знаков, их записи и чтения, то есть созданы древние системы записи чисел, или системы счисления.
В Древней Элладе возникла наука о числах — арифметика, из арифметики на основе операций подсчета, измерения и описания формы объектов родилась наука наук — математика. Математическим аппаратом стали пользоваться все научные дисциплины. А математика стала королевой всех наук, в том числе и бухгалтерской.
Цифры в Древнем ЕгиптеВеликое открытие древнего человека
Счет — одна из основных потребностей человека в практической деятельности с древнейших времен. Наши первоначальные представления о числе и форме относятся к очень отдаленной эпохе древнего каменного века — палеолита. Пока не произошел переход от простого собирания пищи к активному ее производству, от охоты и рыболовства к земледелию, люди мало продвинулись в понимании числовых величин.
Когда первобытные люди научились считать? Скорее всего, в процессе обмена, а затем и торговли. Сначала человек выделил понятия «один» и «много». Потом понятия «два», «три» и т. д. Появление элемента «два» объясняется выявлением возможности взять по одному предмету в каждую руку. На первоначальном этапе счета человек связывал это понятие с поднятием обеих рук, в которых находится по одному предмету в каждой, «три» характеризовалось поднятием обеих рук и указанием на ноги. Отсюда произошло выделение и понятия «четыре», так как, с одной стороны, к этому побуждало сопоставление двух рук и двух ног, а с другой — возможность поместить по одному предмету у каждой ноги.
Люди изображали количество различных предметов с помощью засечек или черточек. Их наносили на поверхности, служившие в то время «бумагой»: глиняные дощечки, древесную кору или камни. Такой способ записи получил название единичной системы счисления. Все числа обозначались строкой черточек: чем больше знаков в строке — тем больше число. Эта система счета была неудобна, ведь при больших числах было легко ошибиться в количестве черточек. Каждый раз их приходилось пересчитывать.
Дальнейшее развитие счета относится к той эпохе, когда сложилось первобытно-коммунистическое общество с соответствующим распределением пищи, одежды и орудий. Эти обстоятельства вынудили человека вести счет общего имущества, сил врага, с которым приходилось вступать в борьбу за овладение новыми территориями.
На этой ступени развития человек уже отказывается от необходимости брать пересчитываемые предметы в руку или класть к ногам. Иногда такие примитивные орудия счета (камешки, раковины, косточки) нанизывали на шнурок или палочку, чтобы не растерять.
Для облегчения счета и для запоминания его результатов придумано множество приспособлений. Первое из них — пальцы собственных рук, которые загибают при счете. Но так можно подсчитать только небольшие количества предметов.
Это впоследствии привело к созданию более совершенных счетных приборов, сохранивших свое значение и до наших дней: русские счеты и сходный с ними китайский суаньпань.
Объектом счета служили различные предметы и группы из них (пригоршня орехов, равная количеству пальцев или фаланг), — стали считать пригоршни. Так возникли равные группы предметов. В этом случае постоянное количество элементов в группе (пригоршне) послужит основанием для счета пригоршней с постоянным числом орехов. Таким образом появилось число — одно из основных понятий математики, абстрактная сущность, используемая для описания количества предметов.
На постоянном количестве такого счета возникли древние системы счисления, многие из которых используются и сегодня.
Системы счисления
Система счисления — это правила записи чисел с помощью письменных (графических) знаков (цифр) и символов математических действий. Цифры — система знаков для записи конкретных чисел. Набор символов (алфавит цифр) и знаков для записи счета в каждой системе были свои, как и правила их записи. Слово «цифра» в обычной речи используют для обозначения так называемых арабских цифр, применяемых арабскими математиками и принесенных в Европу из Индии. Цифры бывают разные: самыми распространенными являются арабские цифры, представляемые знаками от 0 до 9; менее распространены римские цифры, их можно встретить на циферблате часов или в обозначении веков (XIX в.).
Существует много способов записи чисел с помощью цифр. Величина числа может зависеть от порядка цифр в записи, а может и не зависеть. Это свойство определяется системой счисления и служит основанием для простейшей классификации таких систем, что позволяет все системы счисления разделить на два класса:
- позиционные (входят смешанные системы);
- непозиционные (входят унарные системы).
Позиционная система счисления — это система, в которой значение каждого знака (цифры) в числе зависит от его позиции (разряда). Основание системы счисления — это количество знаков (цифр), которое используется для записи чисел в позиционных системах счисления. Для двоичной системы требуется два символа (два числа), для троичной — три, для десятичной — десять. Разряды нумеруются справа налево (в числе 598 число 8 занимает первый разряд, а 5 — третий).
Смешанные системы счисления обычно являются разновидностью позиционной системы. К смешанной системе счисления относится система измерения времени в виде количества дней, часов, минут, секунд, а также денежные знаки — купюры и монеты разного достоинства и их отношения в различных денежных системах. Сюда же относятся сложные старинные денежные системы и системы меры и веса.
В непозиционной системе счисления значение цифры всегда постоянно и не зависит от позиции, которую она занимает в числе. Здесь существуют свои правила записи числа. К непозиционным системам счисления относят греческую, римскую, алфавитную, древнерусскую, вавилонскую, узелковую майя и унарные системы счисления (палочки, камешки или зарубки).
В мире наиболее распространенными являются позиционные системы счисления. Помимо знакомой всем с детства десятичной (где используется десять цифр от 0 до 9), в технике широкое распространение нашла двоичная система счисления, где используются цифры 0 и 1, восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления.
Унарная (единичная) система счисления — это непозиционная система с единственным знаком-цифрой, обозначающим 1. В качестве цифрового знака используется «1», черточка, камешек, костяшка счетов, узелок, зарубка.
Наиболее часто употребляемыми в настоящее время позиционными системами являются: 2 — двоичная (в математике, информатике, программировании); 3 — троичная; 8 — восьмеричная (в программировании, информатике); 10 — десятичная (повсеместно); 12 — двенадцатеричная (счет дюжинами); 16 — шестнадцатеричная (в программировании, информатике); 20 — двадцатеричная; 60 — шестидесятеричная (единицы измерения времени, измерение углов, координат долготы и широты).
Узелковое письмо кипуСамая древняя — и самая современная
Двоичная система счисления — это позиционная система счисления с основанием 2. В этой системе числа записываются с помощью двух символов 0 и 1. Особую роль играет и само число 2, и его степени: 2, 4, 8 и т. д. Самая правая цифра числа показывает число единиц, следующая цифра — число двоек, следующая — число четверок и т. д.
Зачатки двоичной системы наблюдаются у многих народов. У древних египтян широкое распространение получили методы умножения и деления, основанные на принципе удвоения. Изобретение двоичного способа нумерации приписывают китайскому императору Фо Ги (IV в. до н. э.). Полный набор 64 гексаграмм (графических рисунков) был известен в Древнем Китае. Он описан в классических текстах Книги Перемен[2] —расположение в соответствии со значениями соответствующих двоичных цифр от 0 до 63. Метод их получения был разработан китайским ученым Шао Юн в XI веке.
Индийский математик Пингала (200 г. до н. э.) придумал математические основы для описания поэзии с использованием первого известного применения двоичной системы счисления.
Прообразом баз данных, широко использовавшихся в Центральных Андах в
Официальное «рождение» двоичной системы связывают с именем Готфрида Вильгельма Лейбница[3], опубликовавшего статью, в которой были рассмотрены правила выполнения всех арифметических операций над двоичными числами. Именно он ввел в научную практику использование символов «0» и «1» в качестве цифр — оснований двоичной системы, или как тогда ее называли — «диадической системы». Г. В. Лейбниц считал двоичную систему простой, удобной и красивой, непригодной для практики в то время, но чрезвычайно перспективной в будущем. Как человек, увлекающийся китайской культурой, он знал о Книге Перемен и отмечал, что гексаграммы соответствуют двоичным числам от 0 до 111111.
Блестящие предсказания Г. В. Лейбница сбылись только через два с половиной столетия, когда американский ученый Джон Нейман предложил использовать именно двоичную систему счисления в качестве универсального способа кодирования информации в первых компьютерах («Принципы Джона фон Неймана»). Наши современники также используют двоичные системы в технике: светофоры, семафоры, выключатели работают по принципу «да-нет», «белое-черное», «верх-низ». В современной технике примером применения двоичного кодирования является штрихкод. Его можно увидеть в любом магазине, на любом товаре. Азбука Морзе — еще один способ знакового кодирования последовательностью двух сигналов: длинных «тире» и коротких «точек» и их комбинаций.
Благодаря непосредственной реализации в цифровых электронных схемах двоичная система используется практически во всех современных компьютерах и вычислительных электронных устройствах. Также родственные ей восьмеричная и шестнадцатеричная системы применяются при обработке информации в вычислительной технике и электронике.
Открытие ноля
Из целого ряда систем счисления в настоящее время чаще остальных используется десятеричная система счисления, знакомая нам со школьной скамьи.
Это позиционная система счисления с основанием 10. В ней используются десять арабских цифр: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0. Разряды числа имеют свой номер и нумеруются справа налево. Номер разряда одновременно указывает степень основания: единицы (разряд нулевой — 100), десятки (первый разряд) — это 10 в первой степени, сотни (второй разряд) — это 10 во второй степени.
Предполагается, что десятичная система возникла, как и все анатомические системы, естественным путем, когда человек применил для счета собственные пальцы на руках. Древнейшая десятичная позиционная система счисления известна с конца III тыс. до н. э. Она использовалась в Древнем Египте (египетская система счисления) вплоть до начала X века н. э.
В качестве цифр применялись иероглифические символы. Они обозначали числа 1, 10, 100 до миллиона. При записи чисел используются разряды единиц, десятков, сотен и т. д., нужные цифры пишутся на закрепленном за разрядом месте (десятки всегда после единиц и перед сотнями). Числа записывались путем повторения цифр-иероглифов. Каждая цифра могла воспроизводиться от одного до девяти раз.
В десятичной системе счисления для именования больших чисел используются именные названия степеней тысячи, такие как миллион и миллиард. Промежуточные степени десяти образуются прибавлением слов десять или сто, например десять миллионов и сто миллиардов.
В V в. н. э. индийские математики начали записывать числа в десятичной позиционной системе. Происхождение индийских знаков-цифр связывают с использованием букв индийского алфавита деванагари. Числа именовали начальной буквой слова, его обозначающего.
Особая роль принадлежала нолю. Индийские математики Брахмагупта, Махавира и Бхаскара писали, что «если из одного числа вычесть его же, то получится «ноль» — это практически современное определение числа ноль. Ноль называли «сунья», «пустой». Ноль в то время применялся не только в Индии, но и в Китае. В этих старинных системах для записи одинакового числа использовались символы, рядом с которыми дополнительно помечали, в каком разряде они стоят. Потом перестали помечать разряды, но число все равно можно прочитать, так как у каждого разряда есть своя позиция. А если позиция пустая, ее нужно пометить нолем. Лишь в Индии ноль окончательно занял свое место, эта запись распространилась затем по всему миру.
Десятичная позиционная система счисления использовалась в Индии, ее в Средние века заимствовали арабы и принесли в Европу. Так туда попали «арабские» цифры. Несмотря на восторженные отзывы математиков, десятичная система счисления в Европе встретила серьезное сопротивление. Но и оно было побеждено.
В настоящее время повсеместно признанной является Международная система единиц (СИ). Метрическая система — это общее название международной десятичной системы единиц, основанной на использовании метра и килограмма. В метрической системе преобразование сводится к умножению или делению на степень числа 10. Метрическая система выросла по определению метра как одной десятимиллионной доли половины земного меридиана.
Аттическая и ионийская системы счисления
До введения так называемых арабских цифр в Древней Греции использовались системы записи чисел, основанные на буквах, — акрофоническая (по первым буквам названий цифр) и алфавитная (все буквы алфавита).
До III века до н. э. использовался первый тип записи. Старогреческая, или аттическая, система счисления — так стали называть эту древнюю греческую систему записи чисел по названию греческой области Аттики со столицей Афины. В литературе встречается и еще одно название этой системы — чердаке (по названию афинского диалекта).
Аттическая система счисления — непозиционная система, в которой в качестве цифровых знаков использовались греческие буквы, с которых начиналось слово, обозначающее соответствующую цифру. Аттическая система счисления применялась греками уже к V веку до н. э. По существу, это была десятичная система счисления (хотя в ней также было выделено и число пять), а аттические обозначения чисел использовали повторы коллективных символов.
Для цифр от 1 до 9 использовали букву I и для пяти букву П. Иногда в описаниях эту букву представляют как Г. Составные цифры для обозначения чисел 50, 500, 5000 и 50 000 представляли собой сочетание знака 5 со знаками 10, 100, 1000, 10 000. При записи чисел сначала записывали большие, потом — меньшие. Например: ΗΔΔΠΙΙΙ — так записывали число 128; MMΠхΔΔΔΔ — так записывали число 25 040.
Некоторые ученые называют эту систему десятичной, некоторые — пятеричной или частично пятеричной, комбинированной. Принцип записи чисел в аттической системе счисления имеет значительное сходство с римской системой.
После III века до н. э. аттическая система счисления была вытеснена ионийской — системой второго типа, алфавитной. Греческая ионийская система счисления, также известная как александрийская или новогреческая, была непозиционной десятичной системой счисления. Ионийская система возникла в греческой колонии Иония в Малой Азии примерно в 500 году до н. э. Широкое распространение она получила в начале Александрийской эпохи. Эти греческие числа использовал Архимед.
Для записи чисел использовались двадцать четыре буквы греческого алфавита и, кроме того, еще три архаических знака — ϛ (стигма), ϟ (коппа) и ϡ (сампи).
Первые девять букв соответствовали числам от 1 до 9; следующие девять букв — десяткам; и последние девять букв — сотням. Для обозначения тысяч снова использовали первые девять букв греческого алфавита, отмеченные штрихом слева. Чтобы отличить числа от слов, над соответствующей буквой ставили горизонтальную черту.
Первоначально числа обозначались прописными буквами, но позднее сменились на строчные буквы. Необходимость сохранять порядок букв ради сохранения их числовых значений привела к относительно ранней (IV в. до н. э.) стабилизации греческого алфавита.
Церковнославянская цифирьЦифирь. Древнерусская система счисления
Славянские азбуки и славянский счет были созданы просветителями братьями Кириллом и Мефодием в IX веке для переписи священных книг с греческого языка. Обе азбуки имели равное количество букв и каждая — свои правила записи чисел. Глаголица, применявшаяся в некоторых южнославянских языках, постепенно утратила свои позиции и на Руси почти не использовалась. Кириллица, созданная славянскими просветителями в полном соответствии всем буквам греческого алфавита и добавлением недостающих букв для славянских звуков, стала основой русской азбуки.
Русский счет, его называли цифирь, также был построен на основе кириллицы и известен со времени принятия на Руси христианства в 988 году. Кириллица целиком включала греческий алфавит (24 буквы), некоторые греческие буквы (кси, пси, фита, ижица) были вынесены в конец и служили только для обозначения слов греческого происхождения. К ним были добавлены 19 букв для обозначения звуков, специфических для славянских языков и отсутствующих в греческом языке. Это буквы Ц (900) и S (6), а позже и Ч (90).
Чтобы отличать буквы от цифр, над буквами с числовым значением писался специальный знак — титло. Этот знак мог ставиться в рукописях либо над каждой буквой, либо он мог быть длинным и покрывать все число. Тысячи обозначались теми же буквами с титлами, что и первые девять цифр. Большие числа (десятки и сотни тысяч, миллионы и миллиарды) изображались особым образом обведенной в кружок буквой, использовавшейся для обозначения единиц. Десятки тысяч назывались тьмы, их обозначали, обводя знаки единиц кружком из сплошной линии. Миллионы назывались леодрами. Их писали, обводя знаки единиц кружками из лучей или запятых. Десятки миллионов назывались воронами, или вранами, и их изображали, обводя знаки единиц кружками из крестиков или ставя по обе стороны букву К. Сотни миллионов назывались колодами. Колода имела специальное обозначение: над буквой и под буквой ставились квадратные скобки.
В приведенной системе чисел не шли дальше тысяч миллионов. Такой счет назывался «малый счет». В некоторых рукописях авторами рассматривался и «великий счет», но для этого существовали особые правила написания. Из подобных подсчетов и возникли хорошо известные фразеологизмы: «Тьма тьмущая» — бесконечное количество, неисчислимое множество.
Кириллическая запись чисел использовалась в России до начала XVIII века, когда по приказу Петра I был упрощен русский алфавит, создан гражданский шрифт и стала внедряться система записи чисел, основанная на арабских цифрах, аналогичная европейской. В 1703 году с одобрения Петра I была издана «Математика Магницкого». Затем в течение нескольких лет проведены реформы русского шрифта и алфавита, открыты новые учебные заведения, где осваивали новый счет и арабские цифры. Новая десятичная система, пришедшая из Европы вместе с другими новшествами Петра I, встретила немалое сопротивление противников преобразований, но одновременно и горячую поддержку у приверженцев реформ. Оставив старую алфавитную систему счета для церковных нужд и внедряя десятичную в другие сферы (светскую, военную, школьную), разделив тем самым функции для них, правительством Петра I была создана возможность сосуществования обеих систем без агрессивного соперничества.
Десятичная система в России по-прежнему осваивается в школе, применяется во всех сферах жизни.
Продолжение в следующем номере.
[1] Благодарим за предоставленный материал издательско-полиграфический центр «Финпол».
[2] Древнейший китайский философский текст и система гадания, насчитывающая около 3000 лет. Она описывает 64 жизненные ситуации, представленные в виде гексаграмм (комбинаций из шести сплошных и прерывистых линий), которые помогают понять развитие событий и найти гармоничный путь действия через взаимодействие сил инь и ян.
[3] Лейбниц Г. В. (21 июня (1 июля) 1646 г. — 14 ноября 1716 г.) — немецкий философ, логик, математик, механик, физик, юрист, историк, дипломат, изобретатель и языковед. Основатель и первый президент Берлинской академии наук, член Лондонского королевского общества, иностранный член Французской академии наук.